Operaciones

Operaciones aritméticas y propiedades  con números reales

Los números reales  (designados por  ) son casi todos los números que podemos escribir o conocer. 

Según esto, en los reales se incluyen:

Los números racionales (Q) , ya sea como fracciones o como decimales (3/4,  6/8, -0,234,  6, 589, etc.)

Los números naturales (N) y los números enteros Z) (1, 2, 3, 4, 5, etc.)

Los números irracionales (I) :

 (pi, phi, raíz de 2, de 3, de 5, etc.)

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, –21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.

Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica.

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.

Entre los que no son reales tenemos la raíz cuadrada de menos 1, que es un número imaginario.

El número infinito, tampoco es un número real, al igual que otros que usan los matemáticos.

Propiedades de los reales en la suma o adición

La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.

La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:

Propiedad Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

 
Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

 
Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

 
Propiedad del Elemento neutro:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

 
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces

 
El opuesto del opuesto o inverso de un número es igual al mismo número.

 

Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción)

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. 

a – b = a + (–b)

La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

13,2 – 17,8 = –4,6

Minuendo – sustraendo = resto

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Por ejemplo:

27,8 – 12,1 = 15,7

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Por ejemplo:

12,1 – 27,8 = –15,7

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Por ejemplo:

–21,8 – 12,1 = –33,9

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Por ejemplo:

27,8 – 12,1 = 27,8 + (–12,1) = 15,7

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Por ejemplo:

27,8 – (–12,1) = 27,8 + 12,1 = 33,9 –27,8 – (–12,1) = –27,8 + 12,1 = 12,1 – 27,8 = –15,7

Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma.

Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:

54,2 – 33,1 = 21,1

y ese resultado es distinto de

33,1 – 54,2 = –21,1

Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación)

La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con todos los números reales. 
 
Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:

Propiedad Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real. 
 
Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero:

Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

 
Propiedad Conmutativa:

La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son  dos números reales, entonces: 
 
Propiedad del Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número. 
 
Propiedad del Elemento opuesto: 
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad. 
 
Propiedad Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. 
 
Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. 
 

Propiedades de los reales en la División

La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor . Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir;  por ejemplo:

1,86    ÷    3,1    =   0,6

Dividendo                  divisor         cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero .  Esto es, no se puede dividir entre cero

Pero, ojo,  que el dividendo sí puede ser cero , y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.

Por ejemplo:

0 ÷ 5,41 = 0

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:

• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;

• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.

Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación.

Por ejemplo, la división no es una operación  conmutativa:

Como vemos en:

6,24 ÷ 3 = 2,08

y ese resultado es distinto de

3 ÷ 6,24 ≈0,4807

La división no es una operación asociativa:

Como vemos en:

(8 ÷ 4) ÷ 2 =  1

mientras que

8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

BIBLIOGRAFIA:http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Numeros_reales_propiedades.html

Propiedades de los Numeros Reales

                   

Propiedades De Los Números Reales

Propiedades de los Números Reales

Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.

Estas propiedades incluyen:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,

Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos,

Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente,

Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos,

Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: ‘0’es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente,

Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir,

 

Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir,

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,

Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.

Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

Técnicamente, todas estas propiedades están denominadas en conjunto como los axiomas de campo. Estas propiedades ayudan a determinar el comportamiento de los números reales y ayudan a resolver los problemas de los números reales con mayor comodidad.

Bibliografia: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosNumerosReales

Recta Real

Recta real extendida

En matemática, la recta real extendida o recta real acabada, es un espacio métrico que se obtiene a partir de losnúmeros reales ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ por la añadidura de dos elementos: ${\displaystyle +\infty }$ y ${\displaystyle -\infty }$ (léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto: ${\displaystyle \infty }$ (punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.
La recta real extendida se denota por ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ o bien ${\displaystyle [+\infty ,-\infty ]}$; es utilizada para describir varios comportamientos al límite encálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración.
Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo ${\displaystyle +\infty }$ se escribe simplemente ${\displaystyle \infty }$
bibliografia : https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real_extendida

Definicion

                                                    

Número real

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes¹ (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales periódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euleren el siglo XVIII.¹

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.² En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Bibliograifa:https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real